신기한 숫자 9, 인도 수학자 카프리카의 불변수 "재미있네"

신기한 숫자 9

아주경제 홍종선 기자 = 신기한 숫자 9가 화제다. 실제로 9는 ‘카프리카의 불변수’라고도 불리는 회생숫자와 관련 있다.

0~9 가운데 마음에 드는, 서로 다른 숫자 두 개를 골라 다음의 과정을 반복하다 보면 신기하게도 그 답이 언제나 9로 되돌아가는 것을 알 수 있다.
 

카프리카의 불변수

1949년 인도의 수학자인 카프리카가 발견한 수로 회생숫자라고도 불린다. 같은 숫자 하나로만 이뤄지지 않은 임의의 수를 정하고, 여기에 쓰인 숫자를 크기순으로 배열한 뒤 가장 큰 수에서 가장 작은 수를 뺀다. 이런 과정을 반복하면 나오는 수다. 수의 자리(길이)에 따라 회생숫자가 달라진다. 세 자리에서는 495, 네 자리에서는 6174가 회생숫자다. 하지만 두 자리나 다섯 자리 이상에서는 몇 개의 수가 주기적으로 반복돼서 나타난다.

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1) 0부터 9까지 숫자 중에서 서로 다른 2개의 숫자 a, b를 정한다. 이때 a는 b보다 큰 숫자로 한다(예를 들어 5와 4).

2) 10a+b, 10b+a의 방식으로 두 자리 숫자 2개, ab와 ba를 만든다(54, 45가 된다). 처음 선택한 2개의 숫자 a, b가 서로 다르므로 10a+b, 10b+a도 당연히 서로 다른 숫자다.

3) 큰 수에서 작은 수를 뺀다(54-45=9!).

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만일 차이가 큰 두 수를 골랐다 해도 반복하면 같은 결과가 나온다.

1) 예를 들어 7과 2을 택한다.

2) 72와 27을 만든다.

3) 72-27=45

4) 45를 두 수 5와 4로 가른다.

5) 54와 45를 만든다.

6) 54-45=9!
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0과 9를 택해도 마찬가지다.

1) 9, 0
2) 90, 09
3) 90-9=81
4) 8, 1
5) 81-18=72
6) 7, 2
7) 72-27=45
8) 5, 4
9) 54-45=9!

이런 일이 가능한 것은 10a+b, 10b+a의 차이에서 찾을 수 있다. a>b일 때, 10a+b-(10b+a)=10a+b-10b-a=10a-a+b-10b=9a-9b=9(a-b)이므로 그 답은 언제나 9의 배수, 9X(a-b)가 된다.

그것도 9a-9b이므로 당연히 10a+b보다 작은 9의 배수가 나온다. a가 7, b가 2인 경우를 보면 72(10a+b)보다 작은 45(9a-9b)가 첫 번째 답으로 나오는 식이다.